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Diophantische Gleichungen

Interaktive Schritt für Schritt Veranschaulichung

Beispiele zur Schnellwahl:

Parameter anpassen

Was ist eine diophantische Gleichung? Bei einer normalen Gleichung wie $ 17x + 29y = 12 $ dürfen $x$ und $y$ beliebige reelle Zahlen sein. Bei einer diophantischen Gleichung suchen wir gezielt nur nach Lösungen, bei denen $x$ und $y$ ganze Zahlen sind (also $ ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... $). Diese Einschränkung macht die Gleichung interessant, denn nicht jede solche Gleichung hat dann überhaupt eine Lösung.

Die Kette der drei Schritte

1
Vorwärtsrechnung Der euklidische Algorithmus bestimmt den größten gemeinsamen Teiler, wir teilen schrittweise mit Rest.
2
Rückwärtsrechnung Wir setzen die Gleichungen von unten nach oben wieder ineinander ein, dadurch stellen wir den ggT als Kombination von Zahl A und B dar.
3
Lösungsmenge bestimmen Wir multiplizieren die Basis-Kombination so, dass unser gewünschtes Ergebnis C entsteht, die Sprunglängen liefern uns alle weiteren ganzzahligen Lösungen.

Euklidischer Algorithmus Teil 1

Wir bestimmen den größten gemeinsamen Teiler, kurz ggT, der beiden Zahlen. Die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen rutscht in der nächsten Zeile nach vorne, der Rest wird zum neuen Teiler.

Schritt Berechnung (Division mit Rest) Umgestellt nach Rest

Das diagonale Rutsch-Prinzip, wie sich die Zahlen bewegen

Achte darauf, wie sich die Zahlen von Zeile zu Zeile bewegen.

1, Die Zahl, durch die geteilt wurde, wandert in der nächsten Zeile nach ganz links, sie wird zum neuen Dividenden.

2, Der Rest wandert an die Stelle des neuen Divisors.

Dieser Vorgang wird so oft wiederholt, bis der Rest Null ist, der letzte Rest ungleich Null ist der gesuchte ggT.