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Muster 1: Summe ungerade
Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist ungerade – Zahlenbeispiel, Anschauung und algebraischer Beweis.
Öffnen Übung 1Muster 2: Quadrat minus 1
n²–(n-1)(n+1)=1 in drei Begründungsebenen: mit Punktmuster, rein algebraisch und gemischt.
Öffnen Übung 1Muster 3: Produktdifferenz
Produktdifferenz dreier aufeinanderfolgender Zahlen und ihr Zusammenhang mit der mittleren Zahl.
ÖffnenTeilbarkeitsrelation
Was bedeutet a|b? Definition und Visualisierung am Zahlenstrahl und mit Rechteckdarstellung.
Öffnen Übung 2Summenregel
a|b und a|c ⟹ a|(b+c): algebraischer Beweis mit Zahlenstrahl-Visualisierung.
Öffnen Übung 2Differenzregel
a|b und a|c ⟹ a|(b−c): Beweis und Unterschied zur Summenregel bei b > c.
Öffnen Übung 2Produktregel
a|b ⟹ a|(n·b): drei Begründungswege – anschaulich, algebraisch und gemischt.
ÖffnenZerlegungsbaum
Schritt-für-Schritt-Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren als Baumdiagramm.
Öffnen Übung 3Primzahlentest
Systematischer Test mit Testgrenze √n: warum nur Primzahlen bis √n getestet werden müssen.
Öffnen Übung 3Primzahlenlücken
Beliebig lange Primzahlenlücken mit der Hilfszahl H = n! konstruieren und erklären.
ÖffnenRechnen mit PFZ
Produkt, ggT und kgV zweier Zahlen über ihre Primfaktorzerlegung berechnen.
Öffnen Übung 4Wer zerlegt zuletzt?
Warum sind immer genau Ω(n)−1 Schritte nötig – unabhängig vom gewählten Zerlegungsweg?
Öffnen Übung 4Zahlen untersuchen
Quadratzahl, Kubikzahl, Endnullen und Teilbarkeit einer Zahl per PFZ prüfen.
Öffnen Übung 4Potenzgesetze
Die fünf Potenzgesetze G1–G5 an einem konkreten Zahlenbeispiel schrittweise verstehen.
ÖffnenTeiler-/Vielfachenmenge
Teiler- und Vielfachenmenge extensional und intensional darstellen.
Öffnen Übung 5Malhäuser
Stockwerkartige Darstellung von Zahlen nach Primfaktoren im Malhausmodell.
Öffnen Übung 5Teiler-Anzahlen
τ(n)-Formel herleiten und Zahlen mit einer bestimmten Teileranzahl finden.
Öffnen Übung 5Hasse-Diagramme
Teilbarkeits-Hasse-Diagramm für Zahlen mit bis zu zwei Primfaktoren zeichnen.
ÖffnenPrimfaktorzerlegung
Primfaktorzerlegung mehrerer Zahlen gleichzeitig und ihre gemeinsamen Primfaktoren.
Öffnen Übung 6ggT
ggT mehrerer Zahlen über Primfaktorzerlegung – Minimum der Exponenten Schritt für Schritt.
Öffnen Übung 6kgV
kgV mehrerer Zahlen über Primfaktorzerlegung – Maximum der Exponenten Schritt für Schritt.
Öffnen Übung 6Hasse-Diagramm
Hasse-Diagramm des Teilerverbands für beliebig viele Zahlen, einstellbar und mit 3D-Ansicht.
ÖffnenEuklid vorwärts
ggT(a,b) durch wiederholte Division mit Rest berechnen – Schritt für Schritt.
Öffnen Übung 7Rückwärtseinsetzen
ggT als Linearkombination ax+by=ggT darstellen – Rückwärtseinsetzen erklärt.
Öffnen Übung 7Lösungsmenge
Alle ganzzahligen Lösungen von ax+by=c bestimmen und die Lösungsmenge darstellen.
ÖffnenNIM-Spiel
Gewinnfelder berechnen, Gewinnstrategie ableiten und Kettenkongruenzen im NIM-Spiel verstehen.
Öffnen Übung 8Charakterisierungen
Vier äquivalente Charakterisierungen der Kongruenzrelation a ≡ b (mod m).
Öffnen Übung 8Additionsregel
a≡b und c≡d (mod m) ⟹ a+c≡b+d: algebraischer Beweis und Anwendung.
Öffnen Übung 8Multiplikationsregel
a≡b und c≡d (mod m) ⟹ a·c≡b·d: Beweis mit algebraischer Herleitung.
Öffnen Übung 8Subtraktionsregel
a≡b und c≡d (mod m) ⟹ a−c≡b−d: Beweis und Vergleich mit der Differenzregel.
ÖffnenVerknüpfungstafel
Multiplikative Verknüpfungstafel für R_m aufstellen und Muster darin erkennen.
Öffnen Übung 9Zyklen in R_m
Zyklen der Potenzen einer Restklasse und ihre periodische Struktur untersuchen.
Öffnen Übung 9Multiplikative Inverse
Inverse per Ablesen, Hinschauen oder erweitertem euklidischen Algorithmus bestimmen.
Öffnen Übung 9Eulersche φ-Funktion
φ(m) Schritt für Schritt berechnen: Primfaktorzerlegung, Multiplikativität und Formel für p^k.
Öffnenφ(m)-Rechner
Eulersche Phi-Funktion: φ(p), φ(p^k) und φ(a·b) schrittweise berechnen.
Öffnen Übung 10Kongruenzgleichung lösen
ax ≡ b (mod m): Lösbarkeit prüfen, Reduktion und alle Lösungen bestimmen.
Öffnen Übung 10Gleichungssystem
Simultane Kongruenzen lösen per Gleichsetzen oder Hilfszahl-Methode.
ÖffnenRSA: Schlüsselerzeugung
Aus p und q: n, φ(n), e und d bestimmen – Schlüsselpaar Schritt für Schritt aufbauen.
Öffnen Übung 11RSA: Ver- & Entschlüsseln
Nachrichten mit öffentlichem oder privatem Schlüssel ver- und entschlüsseln.
Öffnen Übung 11RSA: Warum es funktioniert
Bedeutung von e, d, n, φ(n) und die mathematische Grundlage des RSA-Verfahrens.
ÖffnenFormelsammlung
Alle Definitionen, Sätze und Formeln aus Übung 1–11 kompakt auf einer Seite. Mit Drucken-Funktion.
Öffnen ReferenzÜbungsaufgaben
Zufällig generierte Aufgaben zu allen Themen – selbst lösen, dann Lösung aufdecken und im Rechner nachvollziehen.
ÖffnenProbeklausur "Zahlen"
Alle 5 Klausuraufgaben mit zufälligen Werten, selbst lösen und per Kontrolle-Button grün/rot prüfen.
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